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Sistemas Lineares

1. Revisão da teoria


- Um sistema linear possui as propriedades de homogeneidade e aditividade.

- Homogeneidade: se aplicamos um sinal x[n] na entrada de um sistema linear e ele fornece y[n] na saída, então se aplicarmos um sinal x[n] multiplicado por um fator k, então a saída deste sistema será y[n] multiplicada pelo mesmo fator k.

Veja a figura abaixo:

 

homogeneidade

 

- Aditividade: se aplicamos um sinal x1[n] na entrada de um sistema linear e ele fornece y1[n] na saída, e se aplicamos um sinal x2[n] na entrada de um sistema linear e ele fornece y2[n] na saída, então se aplicarmos um sinal x1[n]+x2[n], então a saída deste sistema será y1[n]+y2[n].

Acho que isto é melhor visualizado na figura abaixo:

 

aditividade

 

 

2. Experiências


O objetivo destas experiências é verificar as propriedades de honogeneidade e aditividade em sistemas lineares.

1. Gere e plote os sinais a seguir, cada um com 500 amostras:

a. x1[n] =  sen(2*pi*n/100)
b. x2[n] =  4*exp(-(n-150)^2/300) - exp(-(n-150)^2/2500)         
c. x3[n] =  1 para 240 < n < 300
-2 para 299 < n < 380
0  caso contrário 
d. x4[n] =  rand+rand+rand+rand+rand+rand-3
(onde a função rand retorna um número aleatório uniformemente distribuído entre 0 e 1)      

 

n=1:500;
x1 =  sin(2*pi*n/100);
x2 =  4*exp(-(n-150).^2./300) - exp(-(n-150).^2/.2500);
x3 = [zeros(1,240) ones(1,60) ones(1,180) zeros(1,20)];
x4 = rand(1,500)+rand(1,500)+rand(1,500)+rand(1,500)+rand(1,500)+rand(1,500)-3*ones(1,500);

plot(x1)
figure
plot(x2)
figure
plot(x3)
figure
plot(x4)


2. Passe cada um destes sinais através do sistema linear definido abaixo, criando os sinais y1[n], y2[n], y3[n] and y4[n]. 

Usando x[n] e y[n] como exemplo, o sistema é definido pela seguinte equação de diferenças:


y[n] = 0.05 x[n] + 0.95 y[n-1]


Isto pode ser feito com o seguinte programa:

 

y = zeros(1,500);
for i = 2:500
y(i) = 0.05*x(i) + 0.95*y(i-1);
end

 

Como iremos ver mais tarde, este é um filtro passa-baixas recursivo de pólo simples.

Ele opera da mesma forma que um circuito RC, suavizando a forma de onda e removendo ruídos de alta frequência.

3. Multiplique cada um dos sinais por um fator a, e verifique se a saída de cada um deles também aparece multiplicada por este mesmo fator a.

Qual propriedade está sendo verificada neste caso? Justifique sua resposta.

4. Gere o sinal x[n], resultante da soma dos sinais x1[n], x2[n], x3[n] e x4[n], e passe este sinal pelo sistema, gerando y[n].

y[n] é idêntico a y1[n]+y2[n]+y3[n]+y4[n]?

Teste isto subtraindo um sinal do outro.

Plote o resultado e explique qualquer diferença entre os dois sinais.

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